11/18/2023

在11/18/2023星期六，藍白合（國民黨與民眾黨）談判中的候選人組合民調結果公佈。在民調結果中，藍白兩黨對統計誤差的認知出現分歧。同時，大眾也對誤差所造成的統計結果出現誤解，導致輿論開始出現「讓 6%、讓 3%」的聲音。

「讓 6%」應該被理解為：當我們使用抽樣結果試圖推斷真正的大選結果時，抽樣調查的誤差，會使得原本領先 2% 的差距，變成從 -1% 到 5% 的一個差距區間。因為區間包然 0% 差距，而民眾黨又做出「平手禮讓」，導致從原本的贏 2%，直接變成輸家。

民眾黨的原始理念，應該是在 3% 的區間大小內，都做出禮讓。但卻忽略了區間大小其實不能直接人為控制，而是間接被樣本數決定。大樣本和小樣本所做出的調查因為誤差不同，導致所形成的「區間寬度」有時會小於或大於 3%。與其提一個區間，民眾黨應該直接選擇抽樣的樣本數量，控制誤差大小。

這個誤解，另一方面也是兩黨對於「區間」和「誤差」的認知出現歧異。區間大小為兩倍的誤差，而非直接相等。另外，很多人普遍將誤差理解為一個固定的數字，同時忽略了誤差在統計結果中所扮演的角色。最終，因忽略了「差距數字」本身存在隨機性的問題，導致出現「讓 6%」的錯誤解讀。

針對誤差所引發的公平性疑慮，其本質只是因為調查的樣本數太小，導致誤差過大，超過可以接受的範圍。以下，我們將拋開藍白競爭，透過一個模擬情境，來說明誤差對調查結果所造成的影響。

模擬情境

假設，在一個只能有兩位候選人的選舉中，A、B、C 三人都想選。投票人口總數有 1,000,000 人。

在真正投票前，該如何估計「 A 和 B，到底誰更適合出來跟 C 選」？

這時我們有兩種方法：

1. 直接打電話給這 100 萬人，一個一個問。

2. 抽樣。隨機從中找一個 1,000 人的小群體，問這些人的看法。

第一種方法，問出來的結果就是到時投票的真正結果；但這種方法成本太高，既費時、費錢，又不實際。

第二種方法雖然實際，得到的卻是一個「不確定」的結果。因為，我們想試圖直接透過這 1,000 人的看法來推測所有人的看法。

• 例如，要算全班期中考試平均，如果隨機抽兩位同學的分數來算，有可能抽到全班前兩名，得出班平均為 95；但也有可能抽到的這兩位同學，剛好是最後兩名，得到班平均為 76。這兩組班平均，都跟真正的 86 平均分相差甚遠！

• 因此，只要是抽樣，就會有誤差。

但第二種方法，更容易達成。有時結果雖然不確定（有隨機性），但一樣能幫助我們做重大決定！

我們想省事，使用「方法二」來預測投票結果，但又不想讓我們的預測結果，與最終的投票結果相差太大，這時就要使用統計方法。

抽樣調查

我們從這 1,000,000 人中，隨機找出 1,000 人，問他們的看法：

• A 跟 C 選，你投誰？

• B 跟 C 選，你投誰？

針對這 1,000 人，兩種情況的調查結果分別如下：

• A 跟 C 選：A 會得到 480 張票。

• B 跟 C 選：B 會得到 460 張票。

同樣是跟 C 競爭，到底是 A 更適合？還是 B 更適合？還是 A 跟 B並沒有強弱之分，誰出來跟 C 選都一樣？

在 1,000 人的調查結果中，我們得到以下資訊：信心水準 95%，A 的得票率是 48%，B 的得票率是 46%，誤差 4.37%。

• 從這 1,000,000 人中，隨機找出 1,000 人。「1,000」這個數字，被稱為調查的「樣本數」。

• 但這些資訊，到底代表 A 跟 B 誰比較適合？在進行計算之前，我們先理解這些數字代表的涵意。

調查分析

本次調查，其實隱含了以下假設：

1. 在還沒看到統計結果的證據之前，我們認定 A 和 B 兩者的得票率沒有區別。

   • 也就是說，在調查之前，我們預先假設 A 和 B 的得票率差距為 0。

2. 這次的調查結果，有 5% 的機率會是錯的，將屆時大選沒有差距的事實，現在說成是有差距。

   • 也就是說，每次都從 100 萬人抽 1,000 人來調查，重複做 100 遍，則 95 次的調查結果都會顯示沒有區別，只有 5 次有區別。

   • 也可理解為，針對隨機抽 1,000 人的調查，我們有很低的機率會發現 A 和 B 之間有差距；但事實上，如果把這 100 萬人全都問一遍，A 和 B 的得票率並沒有差別。

調查結果

根據以上假設，針對這 1,000 人的調查結果顯示：

1. A 比 B 的得票率高 2%。

2. 這個 2% 差距，會有 4.37% 的誤差。

   • 加入誤差：2% - 4.37% = -2.37%；2% + 4.37% = 6.37%

     • 誤差是指什麼？透過調查，我們發現在這 1000 人的小群體中，A 和 B 的得票率差距為 2%。

     • 但如果推廣至 100 萬人的大群體時，我們不再確定差距是 2%，而只能大概給一個範圍：在真正大選時， A 和 B 的差距，有 非常大的機率會落在 2% $\pm$$\pm$ 4.37% 之間。

   • 也就是說，屆時真正投票的差距不是 2%，而是從 -2.37% 到 6.37% 都有可能。

   • 也就是說，真正的選舉結果從「B 領先 A 2.37%」到「A 領先 B 6.37%」都很有可能發生。

注意！0% 是包含在 -2.37% 到 6.37% 之間的。

• 也就是說，雖然這 1,000 人的抽樣調查結果有 2% 的差距，在真正的大選中，非常有可能 A 和 B 的得票率不會有區別。

• 也就是說，在這 1,000 人的調查中，雖然發現 A 的得票率比 B 多 2%，但因為 1,000 人的抽樣相對於 100萬人還是太小，導致誤差過大。雖然得到 2% 「有差別」的結果，但這差距完全沒有代表性。這個結果不顯著，是一個沒有意義的調查。

因此，透過這 1,000 人的調查，並沒有發現足夠去證明 A 和 B 得票率「有區別」的證據。因此，我們堅持原本的想法：A 和 B 的得票率沒有差距。

試想，如果現在誤差是 0.1%，會有什麼區別？

• 這時得票率的差距，就會介於「A 領先 B 1.9%」到「A 領先 B 2.1%」之間。因為沒有包含0，因此我們就能推測在真正 100 萬人投票的大選中，有非常大的機率 A 至少都會比 B 多 1.9% 的票。

• 這是非常強的證據。因此，我們就能放棄一開始的想法：A 和 B 兩者的得票率沒有區別；並做出「推派 A 去和 C 選」的結論。

問題檢討

• 透過這個 1,000 人的調查，基本能推斷在真正 100 萬人投票時，派 A 或 B 去跟 C 選，是沒有差的。

  • 但也有可能，是有差別的！

• 問題就出在抽樣的樣本數過小。1,000 人相對於 100 萬人能形成的檢定力過小，導致無法成功抓取真實訊息。

  • 到底要抽樣多少人才足夠？這個數字是可以預先計算的！

• 很多時候，「1,000」這個數，是一個早就算好、也確認檢定力足夠的樣本數（真實情況會比 1,000 大）。

• 我們在進行調查時，會將信心水準先固定好，將需要的樣本數算好，再進行調查。

• 因為是抽樣，所以一定有誤差。這個誤差大小，是直接由 1,000（樣本數）來決定的。

時事探討

• 不管藍白，只看統計！

• 背景知識：白陣營聲稱，只要調查的「得票率差距」不顯著，就算藍陣營得分。

• 每個機構的調查，各自會使用不同的樣本數。

  • 針對某幾項調查，白陣營無法接受在這個樣本數下，所算出的誤差。

    • 因為樣本數不夠大，使得誤差太大，導致差距不顯著，最後一直讓分。

• 很多人會直接從「差距的數字」上著手。但要注意的是，這個得票率差距，必須加上誤差範圍，才能對真正的大選進行推斷。

  • 因為算出來的差距，只是從「針對」 2000 人（舉例）的電話調查中算出來的。我們會在乎這 2000 人的結果嗎？

  • 我們主要是想透過這 2000 人的調查，直接對 2000多萬人的大選，做出接近真實的預測。

誤解修正

• 藍陣營在委託各機構調查時，有沒有確認每個機構所使用的「樣本數量」是合理的？

  • 在這，我們就相信各機構在做調查時，隨機性的控制是足夠的。

• 沒有所謂「讓 6%、讓3%、讓 $\pm$$\pm$1.5%」。

  • 真正有意義的是：從這 2000 人電訪出來的差距，在加上誤差後所形成的區間，到底有沒有包含 0%？

    • 包含 0% $⟹$$\Longrightarrow$ 調查不顯著，不存在差距（藍陣營得分）。

    • 不包含 0% $⟹$$\Longrightarrow$ 得票率存在差距（藍 or 白陣營得分）。

  • 白陣營覺得加上誤差後的區間過大（演變成讓太多、讓 6%），導致好幾間機構的調查都不顯著，一直讓分。

    • 換句話說，白陣營覺得調查的樣本數太小，沒有足夠的檢定力。

    • 想要減少誤差，就要增加調查的樣本數。

    • 只要民意支持的事實存在，調查時的樣本數夠大，有時就算讓 6% 一樣能贏。樣本數太小，有時就算只讓 1.5% 也會輸。

  • 因此，核心問題是：機構在調查時的樣本數選擇是否合理。

    • 兩陣營必須都認同各機構在調查時所選擇的樣本數，才能接受最後在合理誤差下所產生的結果。

• 最後，調查既然不顯著（沒有意義），為何要直接認定其中一方獲勝？白陣營為何要認定沒有區別就是對方贏？

  • 不顯著的調查結果，只能代表兩種組合的得票率「在真正大選的時候」有非常高的機率是沒有區別的。

  • 在計量領域中，在設定好信心水準的前提下，只要結果不顯著，就不會做任何額外的解釋。

  • 很多時候，大家都會默認 95% 的信心水準。

數學計算

以下計算，只是為了總結「模擬情境」調查的統計結果，以及算出誤差。

根據前面模擬情境的設定：1,000 人的抽樣調查，信心水準 95%，A 的得票率是 48%，B 的得票率是 46%。

• 將上述資訊整理：

  • $\alpha =5\mathrm{\%}$$\alpha = 5\%$ （型1錯誤）

  • $H_0$$H_0$: ${\hat{p}}_A={\hat{p}}_B$$\widehat{p}_A=\widehat{p}_B$

  • $x_A=480$$x_A = 480$

  • $x_B=460$$x_B = 460$

  • $n_A=n_B=1000$$n_A=n_B =1000$

  • ${\hat{p}}_A=0.48$$\widehat{p}_A=0.48$

  • ${\hat{p}}_B=0.46$$\widehat{p}_B=0.46$

  • $\hat{p}={\displaystyle \frac{x_A+x_B}{n_A+n_B}}={\displaystyle \frac{480+460}{1000+1000}}=0.47$$\widehat{p}=\dfrac{x_A+x_B}{n_A+n_B}=\dfrac{480+460}{1000+1000}=0.47$

  
  

• 計算檢定統計量並與臨界值比較：

  $Z_{1-\frac{\alpha }{2}}^{\ast }=Z_{0.975}^{\ast }={\displaystyle \frac{({\hat{p}}_A-{\hat{p}}_B)-0}{{\text{SE}}_{\text{pooled}}}}={\displaystyle \frac{({\hat{p}}_A-{\hat{p}}_B)-0}{\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})(\frac{1}{n_A}+\frac{1}{n_B})}}}={\displaystyle \frac{0.48-0.46}{\sqrt{0.0004982}}}=0.8960<C_z=1.96$$Z^*_{1-\frac{\alpha}{2}}=Z^*_{0.975}=\dfrac{(\widehat{p}_A-\widehat{p}_B)-0}{\text{SE}_{\text{pooled}}}=\dfrac{(\widehat{p}_A-\widehat{p}_B)-0}{\sqrt{\widehat{p}(1-\widehat{p})\left(\frac{1}{n_A}+\frac{1}{n_B}\right)}}=\dfrac{0.48-0.46}{\sqrt{0.0004982}}=0.8960 < C_z = 1.96$.

  $⟹$$\Longrightarrow$ 無法拒絕 $H_0$$H_0$，因此認定 ${\hat{p}}_A={\hat{p}}_B$$\widehat{p}_A=\widehat{p}_B$。

  
  

• 計算調查的誤差（Margin of Error）：

  $MO{E}_{0.95}=Z_{0.975}\times {\text{SE}}_{\text{pooled}}=1.96\ast \sqrt{0.0004982}=4.37\mathrm{\%}$$MOE_{0.95}=Z_{0.975}\times \text{SE}_{\text{pooled}}=1.96 * \sqrt{0.0004982}=4.37\%$.